Materi Aljabar Linier dan Matriks Lengkap

Hai, pada kesempatan kali ini saya membuat artikel tentang materi aljabar linier dan matriks lengkap, dimana materi ini saya dapatkan dari dosen Aljabar Linier yaitu Ibu Mia Mayang Sari, S.Kom. Dalam artikel ini ada beberapa silabus yang akan dibahas dalam ruang lingkup aljabar linier dan matriks, diantaranya adalah sebagai berikut :

1. Aljabar Linier Dalam Bidang Informatika
2. Basis dan Ruang Vektor
3. Matriks dan Determinan
4. Sistem Persamaan Linear
5. Konsep Nilai Eigen dan Vektor Eigen
6. Matlab

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS DALAM BIDANG INFORMATIKA

Definisi / Pegnertian Aljabar Linier dan Matriks

• Aljabar linier adalah bidang studi yang mempelajari sistem persamaan linier dan solusinya, vektor serta transformasi linier.
• Matriks adalah kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.
• Aljabar linier dan matriks merupakan bagian yang sangat berkaitan, matriks merupakan operasi dalam pencarian persamaan aljabar linier.

Contoh Persamaan Linier :

x + y = 4 (persamaan linier dengan 2 peubah)
2x-3y=2z+1 (persamaan linier dengan 3 peubah)

Aljabar Linier dalam Bidang Informatika

• Kriptografi : penggunaan teknik matriks identitas
• Komputer Grafik : penggunaan teknik matriks transpose
• Games : penggunaan berbagai macam teknik matriks
• Pengolahan Citra : penggunaan teknik matriks dan persamaan linier

BASIS RUANG DAN VEKTOR

Definisi / Pengertian Basis

• Basis adalah himpunan vektor.
• Basis juga bisa dianggap sebagai sistem koordinat.
• Misalkan V ruang vektor dan S = { s 1, s 2 ,…, s n }. S disebut basis dari V.

Vektor Basis di Ruang R2

Vektor basis diruang R2 pada sumbu X dinyatakan dengan i, vektor satuan pada sumbu Y dinyatakan dengan j
Bentuk vektor baris ditulis sebagai berikut : e1 = (1,0), e2 = (0,1)

Vektor Basis di Ruang R3

Vektor basis diruang R3 pada sumbu X dinyatakan dengan i, pada sumbu Y dinyatakan dengan j, sedangkan vektor satuan pada sumbu Z dinyatakan dengan k.
Bentuk vektor baris ditulis sebagai berikut : e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)

Vektor di Ruang R2

• Vektor terletak sepanjang sumbu koordinat X dan Y.
• Vektor berada di R2 maka dikatakan vektor berada di bidang.

Vektor di Ruang R3

• Vektor dalam ruang digambarkan dalam sistem koordinat ruang.
• Sumbu X dan Y mendatar sedangkan sumbu Z vertikal.
• Ketiga sumbu tersebut saling tegak lurus dan perpotongan dititik pangkal O (0,0,0).

Pengantar Vektor

• Didalam Fisika dikenal 2 buah besaran, yaitu besaran skalar dan besaran vektor.
• Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai.
• Contoh skalar : massa.
• Vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang memiliki nilai dan arah.
• Contoh vektor : Kecepatan.

Notasi Vektor

• Vektor merupakan garis berarah yang memiliki titik awal dan titik akhir.
• Arah panah menunjukan arah vektor dan panjang vektor menunjukan besaran vektor.
• Vektor dapat ditulis dengan huruf kecil tebal atau tanda bar.

Gambar Vektor

• Titik pangkal di A
• Titik ujung di B
• Arah vektor di A menuju B
• Besar vektor ditunjukan oleh panjang garis AB

Operasi-operasi Pada Vektor

Kesamaan dua vektor
Negatif sebuah vektor
Resultan 2 buah vektor
Penjumlahan vektor
Perkalian vektor dengan skalar

Kesamaan Dua Vektor

Suatu vektor dikatakan sama apabila memiliki panjang dan arah yang sama, dengan tidak memperhatikan titik pangkal.

Negatif Sebuah Vektor

Vektor (-a) adalah vektor yang memiliki arah berlawanan dengan vektor a tetapi panjangnya sama dengan vektor a.

Resultan 2 Buah Vektor

Resultan dua vektor u dan v adalah vektor w yang dibentuk dengan menempatkan titik pangkal vektor v pada titik ujung vektor v dan menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung vektor v

Penjumlahan Vektor

Diketahui a dan b vektor–vektor di ruang yang komponen – komponennya adalah
a = ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 )
Maka :
a + b = (a1 +b1, a2+b2, a3+b3 )

Contoh :
diketahui dua vektor a = i+2j-3k dan b = 2i+5j+4k, berapakah a+b ?

Perkalian Vektor dengan Skalar Aljabar Linier dan Matriks

Diketahui a vektor di ruang yang komponen – komponennya adalah a = ( a1,a2,a3 )
Maka k . a = ( ka1, ka2, ka3 )
Jika k > 0 maka searah dengan a
Jika k < 0 maka berlawanan arah dengan a

Contoh :
diketahui vektor a = i+2j-3k, maka 2a = ?

Panjang Vektor

Panjang sebuah vektor u disebut juga norma u dinyatakan dengan :

Contoh : hitunglah panjang vektor u = 3i+4j!

Jarak Euclidean Antara Dua Vektor

Jika p = (p1, p2,….pn) dan q = (q1, q2,…qn)

Contoh : diketahui p = (2i+3j) dan q = (5i + 6j), berapa jarak Euclideannya?

Contoh Penerapan Vektor dalam Klasifikasi Citra

Diketahui tiga buah wajah, yaitu Citra 1(Dilla), Citra 2 (Agil), dan Citra 3 (Alim)yang akan digunakan sebagai basis data untuk pengenalan pola wajah menggunakan komputer.

Beberapa ciri untuk mengenali citra tersebut adalah dilihat dari standar deviasi intensitas warna dalam tiap-tiap citra σ, rata-ratanya µ, dan entropinya ℯ. Setelah ketiga ciri tersebut dihitung diperoleh data berikut :

Citra 1: σ=0,15      Ã‚µ=40      Ã¢â€žÂ¯=1,25
Citra 2: σ=0,05      Ã‚µ=60      Ã¢â€žÂ¯=2,35
Citra 3: σ=0,24      Ã‚µ=53      Ã¢â€žÂ¯=0,85

Kemudian diambil satu citra lagi, yaitu citra ke-4 sebagai citra uji.
Pada citra uji dihitung nilai-nilai ciri citra tersebut,diperoleh data berikut :
Citra 4: σ=0,23      Ã‚µ=55      Ã¢â€žÂ¯=0,82
Tentukan bagaimana komputer bisa mengenali citra ke-4? Dan siapakah nama dari citra ke-4 menurut hasil pengenalan komputer?

MATRIKS

Definisi / Pengertian Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom.

Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n

Operasi-operasi pada Matriks

1. Kesamaan Dua Buah Matriks
   Dua matriks A dan B disebut sama, jika ukurannya sama dan berlaku : [ aij ] = [ bij ]
   
   A = B
   A ≠ C
   B ≠ C
2. Penjumlahan dua matriks
   Jumlah dua buah matriks A + B bisa dilakukan asalkan kedua matriks tersebut berukuran sama
   Sifat-sifat penjumlahan:
   Komutatif : A + B = B + A
   Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C
   
3. Perkalian Matriks dengan Skalar
   Jika k suatu skalar, maka matriks kA = (kaij)
   Diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k
   
4. Pengurangan Matriks
   Mengurangi matriks A dengan B (A-B) adalah menjumlahkan matriks A dengan matriks (-B)
   
5. Perkalian Matriks
   Syarat perkalian matriks : banyaknya kolom matriks pertama = banyaknya baris matriks kedua.
   Hasil perkalian antara matriks A = [aij] berordo mxp, dengan matriks B = [bij] berordo pxn, adalah matriks C = [Cij] berordo mxn.
   

MACAM-MACAM MATRIKS

1. Matriks Bujursangkar Aljabar Linier dan Matriks
   Matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom

2. Matrik Satuan / Identitas
   Matriks bujursangkar
   Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1
   Contoh :

3. Matriks Segitiga
   Matriks bujursangkar
   Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol
   Contoh :

4. Matriks Tranpose
   Tidak perlu bujursangkar
   Setiap baris ditukar tempat dengan kolom

Contoh :

5. Matriks Diagonal
   Matriks bujursangkar
   Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama
   Contoh :

6. Aljabar Linier dan Matriks Nol
   Tidak perlu matriks bujur sangkar
   Semua unsurnya nol
   Contoh :

Itulah artikel materi aljabar linier dan matriks lengkap yang dapat saya sampaikan, semoga bermanfaat.

Baca Juga : Contoh Soal Dan Jawaban UTS Dan UAS Administrasi Jaringan